【888棋牌游戏】张天蓉专栏:酒鬼漫步的数学——随机过程

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编者案:

前几篇次要介绍了概率与统计中的两个重要学派:频次学派和贝叶斯学派,从而引申出了概率与统计范畴最根本的问题:什么是概率、它又从何而来。

而此篇则将以概率与统计中一个重要的概念——随机过程做为起点,去讨论一个酒鬼回家的可能。

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撰文 | 张天蓉 (美国德州大学奥斯汀分校理论物理博士)

责编 | 吕浩然

常识分子为更好的智趣生活ID:The-Intellectual

想象在曼哈顿东西南北格点化的街道中有一个小醒汉,他每次抵达一个穿插路口时城市随机选择前后左右四个标的目的此中的一个,然后继续前进(或撤退退却);在走到下一个路口时又随机选择一次标的目的……如此继续下去,他所颠末的途径会具有什么样的特点呢?

数学家们将这样的问题称之为“酒鬼安步”,以至将酒鬼的途径笼统为一个数学模型:无规行走,或称随机游走(random walk)。而因曼哈顿的酒鬼只能在二维的城市空中上游荡,所以这也是一种“二维无规行走”,见图1。

图1:酒鬼安步和二维无规行走途径

  1. 随机过程与伯努利过程

无规行走是一类随机过程。何谓随机过程?之前我们以丢硬币为例介绍了随机变量,随机过程就是一系列随机变量的集合。好比说,每丢一次硬币,便产生一个随机变量X,那么,我们一次又一次地丢下去,便产生出一系列的随机变量X1,X2…… Xi ……,酒鬼的安步也类似,总的途径是酒鬼屡次随机选择行走的所有途径的集合。随机变量序列集合起来,便构成了“随机过程”。随机过程中的Xi,可看做是时间 ti 的“函数”。

与典范物理学类似,物理系统随时间演化的过程,要遵照牛顿物理学的规律。随机过程也有它的运动规律。但差别的是,随机过程的变量是取值不确定的随机变量,这使得随机过程比拟于“不随机的过程”更难以处置。

此处还应介绍一个新的定义——伯努利过程。丢一次硬币产生一个取值为1或0的随机变量X,那么,接连丢下去产生的随机变量的集合就被称为伯努利过程。伯努利过程是一个时间离散,取值也离散的随机过程,此中随机变量的样本空间只要两个取值:胜利(1)、或失败(0),胜利的概率为p。例如,掷一个6面对称的骰子,假如将“3”呈现的概率定为胜利的话,则屡次掷骰子的成果是一个p=1/6的伯努利过程。

  1. 马尔可夫链[1]

伯努利过程比力乏味,因为得到正面的概率是个固定值p,每次抛掷的成果互相独立,这种独立性是构成之前所介绍的“赌徒错误”的根底。

然而,真实随机变量之间,往往存在着互相依赖的关系。好比说,考虑明天首都下雨或天晴的可能性,一般来说与首都今天、今天的气候情况有关。

图2:典型的马尔可夫过程

简单而言,假设明天下雨的概率只与今天的天气有关,则“雨晴”的转换能够用一个如图2a的图形来描述。图中,“雨”和“晴” 两种形态之间被数条带箭头的曲线连接。这些连线暗示从今天的形态,如何预测明天的形态。好比说,从形态“雨”动身有两条连线:完毕于形态“晴”的右边那一条标上了“0.6”,意思是说:“今天雨明天晴的概率是60%”;右边曲线绕了一圈又返回“雨”,标识0.4,即“明天继续下雨的概率是40%”。能够类似天文解从形态“晴”动身的两条曲线:假如今天晴,那么明天有80%的可能性晴,20%的可能性下雨。

时间上离散的过程,也被称为“链”,上述例子是一个典型的、也是最简单的马尔可夫链,它也得名于俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫(Andreyevich Markov,1856-1922)。马尔可夫链具有马尔可夫性量,也被称为“无记忆性”或“无后效性”,即下一形态的概率散布只由当前形态决定,与过去的事件无关。反映到上述案例中,明天“晴雨”的概率只与今天的形态有关,而与今天以及更早之前的气候均无关。

除了用图形来暗示马尔可夫链之外,“雨晴”变更关系也能够用图2b的转换矩阵P来描述。矩阵中的数值,暗示系统演化“一步”后形态之间的转移概率。矩阵暗示中的形态是一个矢量,图2b中,今天的形态被暗示为一个重量为0.3和0.7的矢量,明天的形态则由P乘以今天之形态而得到。

图3:时齐马尔可夫链

值得留意的是,上述矩阵中的转移概率其实不随时间而变革,即矩阵中的各个元(0.4, 0.6, 0.2, 0.8)的数值是固定的,这种马尔可夫过程页叫做时齐马尔可夫过程。好比说,如图3所示,假设首都任何一天的“晴雨”形态都由前一天的形态乘以同样的转换矩阵P而得到,则这个过程是时齐的。凡是考虑的马尔可夫过程,都被假定是“时齐”的。

除了“时齐”性之外,人们还对长时间后趋于不变形态的马尔科夫过程颇为感兴趣。

假设一周内的股票市场只用简单的3种形态暗示:牛市、熊市、停滞不前。其转移概率如图4所示。

图4:股票市场的极限概率散布

当时间足够长的时候,这个马尔可夫链产生的一系列随机形态趋向一个极限向量,即图4中右下角所示的矢量Xlimit =[0.47, 0.3, 0.23],也就是系统最初的稳态向量。根据这个特殊的股票市场模型,久远的市场趋势趋于不变,即每周的股票情况是:47%的概率是牛市、30%熊市、23%停滞不前。

  1. 酒鬼失足、赌徒破产及鸟儿回家

无规行走能够看做是马尔科夫链的特例[2],它的形态空间不是像上述抛硬币等例子中那种由简单的几种有限的根本形态构成的,而是由无限延伸的“物理空间”构成,这儿的“空间”能够是任意维度的。

那么,为什么说酒鬼安步是马尔可夫链呢?因为,醒汉在时刻 ti+1 的形态(即位置)仅由他在时刻 ti 的形态(xi, yi),以及他随机选择的标的目的所决定,与过去(ti 之前)走过的途径无关。

我们再来讨论一个“酒鬼掉下悬崖”的趣题。前文曾经介绍过高尔顿钉板尝试,可做为一维无规行走的例子。高尔顿钉板虽然貌似一个二维空间,但因为小球在垂直标的目的的运动其实不是随机的,而是每次固定向下1格,因而能够视做一个向下的时间轴,而程度标的目的则是一个一维无规行走,见图5。

图5:求一维酒鬼掉下悬崖的概率

在图5中,钉板的程度标的目的为x轴,垂直向下为时间轴。悬崖处设为x=0(图5右边虚线)。假设酒鬼(顶端的小球)起始时位于x=n的格点位置,即离悬崖有n格之遥。酒鬼朝下安步过程中的每一步,向右(x增大)概率为p,向左概率为(1-p)。如今问:酒鬼从位置n遨游,掉下悬崖的概率是几(悬崖的位置在x=0处,所以,当随机变量x的值抵达0,可做为酒鬼掉下了悬崖的判据)?

先考虑一个简化的详细问题,好比说,设酒鬼安步时向右走的概率p=2/3,向左走的概率为q=1-p=1/3,那么,酒鬼从x=1的位置开端遨游掉下悬崖的概率是几?

也许有人会很快就得出答案:酒鬼从x=1向左走一步就到了悬崖,而他向左走的概率为1/3。那么,他掉下悬崖的概率不就是1/3吗?事情其实不是那么简单。1/3是酒鬼第一步向左走掉下悬崖的概率,但他第一步向右走仍然有可能掉下悬崖,好比说,右走一步之后又再左走两步不也一样抵达x=0的格点吗?所以,掉下悬崖的总概率比1/3要大,要加上第一步向右走到了x=2的点但后来仍然掉下悬崖的概率。

为了更清楚地阐发这个问题,我们将酒鬼从x=1处安步到x=0处的概率记为P1。这个概率显然就是方才简化问题中要求解的:从x=1处开端安步掉入悬崖的概率。同时,从这个问题的平移对称性考虑,P1也是酒鬼从任何x=k左移一个格点,安步(不管几步)抵达x=k-1格点位置的概率。需要留意:酒鬼走一步,与他的格点位置挪动一格是两码事,位置从x=k左移到x=k-1,也许要走好几步,这与两点之间的“途径与位移”是一个道理。

除了P1之外,将从x=2处开端安步掉入悬崖的概率记为P2=P12 ,x=3处的概率记为P3=P13……以此类推,如方才所阐发的,对P1能够列出一个等式:

P1 = 1-p+pP12

此中,p是酒鬼朝悬崖反标的目的游走的概率。由此能够解出P1 = 1或者P1= (1-p)/p。对这个问题有意义的解是P1= (1-p)/p,Pn=P1n 。

当p=1/2时,P1=1,意味着酒鬼最末必然会掉下悬崖;当p1,Pn也一样,但概率最多只能为1。所以,假如酒鬼朝悬崖反标的目的的概率不足1/2的话,无论他开端时间隔悬崖多远,酒鬼也是必定要掉下悬崖的;假如p=2/3,算出P1=1/2,Pn=(1/2)n,n越大,即酒鬼初始位置离悬崖越远,失足的可能性便越小。

无规行走模型的应用范畴很广,酒鬼失足悬崖的问题也有许多差别的故事版本,但描述的数学模型根本一致。好比说,赌徒破产问题就是此中一例:赌徒在赌场赌博,赢的概率是p,输的概率1-p,每次的赌注为1元,假设赌徒最开端时有赌金n元,赢了赌金加一元,输了赌金减一元。问:赌徒输光的概率是几?这个问题与上面处理的酒鬼悬崖问题的数学模型完全一样,赌金的数目对应于酒鬼安步中的一维间隔x,悬崖位置x=0便对应于赌金输光赌徒破产。从上面阐发可知,即便p=1/2,酒鬼也肯定掉下悬崖,即赌徒最末必然破产。

酒鬼失足问题还能够稍加变更构成一些新型的趣题。好比说,假设酒鬼的路上两边都有悬崖,计算别离掉到两边悬崖的概率;赌博问题上,便相当于两个赌徒A和B赌博,看谁先输光。

也能够假设酒鬼的路上底子没有悬崖,且路的两头都能够无限延伸,酒鬼从自家门口动身,要你计算,酒鬼进来遨游之后,最初还可以回到家的概率等于几?

美籍匈牙利数学家波利亚(George Pólya,1887-1985)认真研究了以上所提的“酒鬼回家”问题[3]。

根据方才的讨论,酒鬼随机游走在长度无限(一维)没有悬崖的路上,时左时右,但只要时间足够长,他最末总能回到动身点。因而,最末回家的概率是100% 。二维的情形也类似,只要时间足够长,这个醒鬼总能回到家,概率仍然是 100% 。波利亚在 1921 年证明了这点,但三维的答案又如何呢?

波利亚令人吃惊地证明了在维数比2更高的情况下,酒鬼回家的概率远小于1!好比,在三维网格中随机游走,最末能回到动身点的概率只要 34% ,这也被称为波利亚定理(见图6)。

图6:“酒鬼小鸟回家”定理

酒鬼不成能在空中游走,而鸟儿的活动空间却是三维的,因而,美国日裔数学家角谷静夫(Shizuo Kakutani,1911–2004)将波利亚定理用一句通俗又非常幽默的语言来总结:喝醒的酒鬼总能找到回家的路,喝醒的小鸟则可能永久也回不了家[4]。

无规行走也是物理学中布朗运动的数学模型,欲知详情,且听下回合成。

参考文献:

【1】维基百科:马尔可夫链

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A9%AC%E5%B0%94%E5%8F%AF%E5%A4%AB%E9%93%BE

【2】wikipedia:https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk

【3】Finch, S. R. "Pólya's Random Walk Constant." §5.9 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 322-331, 2003.

【4】A joke by Shizuo Kakutani at a UCLA colloquium talk as attributed in Rick Durrett's book Probability:Theory and Examples.

造版编纂:吕浩然丨

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